介绍

zk-SNARK，即“零知识简洁非交互式知识论证”，使得一名验证者 能够确认一名证明者 拥有某些特定知识，这些知识被称为 witness，满足特定的关系，而无需透露关于见证本身的任何信息。

为特定问题生成 zk-SNARK 包括以下四个阶段：

1. 将问题（或函数）转换成算术门电路。
2. 然后将这个电路翻译成矩阵公式。
3. 这个矩阵公式进一步转换成一个多项式，这个多项式应该能被一个特定的最小多项式整除。
4. 最后，这种可整除性在有限域的椭圆曲线点中表示出来，证明就在这里进行。

前三个步骤仅仅是转换了原始陈述的表示方式。最后一个步骤使用同态加密将第三步的陈述投影到加密空间中，使得证明者能够证实其中的镜像陈述。鉴于这种投影利用了非对称加密，从第三步的陈述回溯到原始陈述是不可行的，确保了零知识的暴露。

阅读本文所需的数学背景相当于 STEM 专业学生的大一级代数水平。唯一可能具有挑战性的概念可能是椭圆曲线加密。对于不熟悉这一点的人来说，可以将其视为具有特殊基数的指数函数，同时要记住其逆函数仍然未解。

本文将遵循以下符号规则：

• 矩阵：粗体大写字母，例如 ；显式形式写作
• 向量：带箭头的小写字母，例如；显式形式写作 ；默认情况下所有向量均为列向量
• 标量：常规字母表示

让我们用这个问题作为例子：

假设爱丽丝想要证明她知道一个 。我们将逐步介绍爱丽丝为她的证明生成 zk-SNARK 所需采取的整个程序。

这个问题可能看起来太简单，因为它不涉及控制流（例如，if-then-else）。然而，将带有控制流的函数转换为算术表达式并不困难。例如，让我们考虑以下问题（或在编程语言中的“函数”）：

f(x, z):

if(z==1):

return x*x*x+x*x+5

else:

return x*x+5

将这个问题重写为以下算术表达式很容易（假设 ），这并不比方程式 (1) 复杂多少。在本文中，我们将继续使用方程式 (1) 作为讨论的基础。

第1步：算术门电路

方程式 (1) 可以分解为以下基本算术运算：

这对应于以下算术门电路：

我们还将方程式 (2) 称为一组4个“一级约束”，每个约束描述了电路中一个算术门的关系。通常，一组 n 个一级约束可以概括为一个二次算术程序（QAP），接下来将进行解释。

第2步：矩阵

首先，让我们定义一个“见证”向量，如下所示：

其中 与方程式 (2) 中定义的相同。

通常，对于一个有  个输入和  个算术门的问题（即 n-1 个中间步骤和最终输出），这个见证向量将是 维的。在实际问题中，数字  可能非常大。例如，对于哈希函数， 通常是几千。

接下来，让我们构造三个 n*(m+n+*1) 矩阵 ，以便我们可以将方程式 (2) 重写如下：

其中  表示逐点乘积，而且

方程式 (3) 只是方程式 (2) 的另一种表示形式：每组  对应于电路中的一个门。我们只需要明确地展开矩阵公式就可以看到这一点：

所以  与方程式 (2) 完全相同，矩阵方程的每一行对应一个一级约束（即电路中的一个算术门）。

我们跳过了构建  的步骤，其实这些步骤相对简单直接。我们只需要根据相应的一级约束，把它们转换成矩阵形式，从而确定  每一行的内容，即 。以第一行为例：可以很容易地看出，要使第一个一级约束  成立，我们需要的是将 、 和  与  相乘。

因此，我们已经成功地把算术门电路转换成了矩阵公式，即方程式 (3)。同时，我们也把需要证明掌握的对象，从 转变为了见证向量 。

第3步：多项式

现在，让我们构造一个 n*(*n+m+*1) 矩阵 ，它定义了一组关于  的多项式：

使得  在 {1,2,3,4}处的取值满足以下条件：

然后我们可以将  重写为：

这些是六个变量的四组线性方程，可以用传统方法求解。然而，在这种情况下解决  的更有效方法是拉格朗日插值，它利用了问题的特殊性。这里我们跳过求解  的过程，虽然有点繁琐但很直接。

类似地，我们分别为  和  构造  和 。然后我们可以将矩阵公式  重写为：

如果提取出每一行单独观察，不难发现这四行对应于在四个点分别求值的相同表达式。因此，上述矩阵方程等价于：

其中  定义为:

确定  在  是否成立的最快方法是检查它是否可以被  整除，这被称为“最小多项式”，记为 。即检查  的因式分解：是否存在一个多项式  使得  可以分解为 。换句话说，我们需要证明以下分解：

其中：

一种直接但不保密的方式来证明这一点是提供方程式 (4) 的左边并展示因式分解。然而，zk-SNARK 的主要目的是保持隐秘（不透露任何知识）。因此，我们不会直接证明这个方程，而是在椭圆曲线点的空间中证明它的加密版本。

第4步：椭圆曲线点

将方程式 (4) 重写为：

其中  只是  的一个平凡的零次多项式，用来使方程统一——所有项都是二次的。这样做的必要性很快就会变得清晰。注意这个方程只包含  的多项式的加法和乘法。

从高层次上看，这就是我们要做的：将多项式（具体来说，是多项式的系数）映射到椭圆曲线点，并将方程式 (5) 转换为加密空间中的以下镜像方程，这是需要证明的陈述：请注意，算术运算，加法  和乘法  ，也被映射到椭圆曲线点的有限域上的对应运算。圆圈中的运算符号  和   用来避免混淆，并表明这些是重新定义的域运算。

接下来，我们将更详细地阐述实际的操作步骤。

椭圆曲线加密

椭圆曲线的一般理论远远超出了本文的范围。就本文的目的而言，椭圆曲线被定义为从素域  的函数，其中  包括满足  的点（称为椭圆曲线点，简称 ECPs）。

请注意，虽然到目前为止我们一直在讨论常规算术，但现在当我们转换到素域时，数字的算术运算是以模运算的方式进行的。例如，，其中  是  的阶。

另一方面，两个椭圆曲线点的加法定义如下图所示：

Figure from Wikipedia

具体来说，两个 ECPs  和  的加法：

1. 找到直线  和曲线的交点 ，定义为
2. 翻转到曲线上  的“镜像”点 。

因此我们定义椭圆曲线点的加法：

请注意，这个规则也适用于特殊情况，即一个 ECP 自加的情况，此时将使用该点的切线。

现在假设我们随机选择一个点 ，并将数字  映射到它上面。（这种“初始映射”听起来有点任意。稍后将进行讨论）。然后对于任何 ，我们定义：这有一个操作表达式。定义  的操作为“生成器”，记为 。那么上述定义等同于：也就是说， 是从  开始，进行  次  操作的椭圆曲线点。这实际上是椭圆曲线加密最初构建的方式：

1. 从  作为  开始；
2. 然后进行  操作跳转到 ：曲线和  处切线的交点的翻转；
3. 然后再次进行  操作跳转到 ：曲线和直线  的交点的翻转；
4. 依此类推。

所以  操作就像  中的 “++” 操作符。（请记住， 中的加法是以模运算的方式定义的）。

对于不熟悉椭圆曲线的人来说，你可以将这种映射类比为一个常规的指数函数，其中基数  代替了实数。算术运算的行为类似。然而，一个关键的区别是  的逆函数在计算上是不可行的。也就是说，没有办法计算椭圆曲线版本的 。这当然是椭圆曲线加密的基础。这样的映射被称为单向加密。

请注意，给定一个椭圆曲线，由于选择 （因此选择“生成器” ）是任意的（除了 x 轴上的点），有无限种映射方式。选择 （或 ）可以类比为选择指数函数的基数（），这是常识的一部分。

定义了加法后，以下线性关系很容易看出：范数表达：因此， 中的任何线性关系（或约束）都会通过这种映射在加密空间  中得到保留。例如， 中的方程  将导致 ，或者 。

然而，Alice 想要证明的方程式 (5) 是二次形式的，所以线性不够。为了处理二次项，我们需要在加密空间中定义乘法。这被称为配对函数，或双线性映射，接下来将进行解释。

双线性映射

假设  和  是素数阶  的群。配对函数，或 双线性映射，定义为：

使得如果  分别是  和  的生成器，则  是  的生成器，并且 。

这个配对函数是我们在加密空间中需要的“乘法”操作，用于处理方程式 (5) 中的二次项。其中  是  和  中的元素。这个定义当然比本文所需的更为一般。你可以把  看作是椭圆曲线点。

让我们用  作为乘法操作的符号，那么双线性可以用算术形式重写：这是我们都熟悉的东西——加法和乘法操作的分配律。

有了这样的双线性映射，我们就可以将方程式 (5) 的两边映射到加密空间。

公共参考字符串   

在这里，我们需要一个可信的第三方来选择五个随机系数：，以及一个随机点 ，在这个点上将会（虚拟地）评估多项式。这个 6 元组  被称为“toxic waste”，需要被丢弃。

请注意，整个程序基于对第三方正确处理有毒数据的信任。在现实中，这个“可信设置”程序并不是一个简单的任务。在这篇文章中，我们将假设这一步骤将被正确进行。

这整体被称为“证明钥”（proving key），记为 PK。请注意， 中包含向量的表示法应该被解释为椭圆曲线点的向量，其中每个点都是从相应的向量元素映射而来的。所以这 11 个向量实际上包含 62（=4*2+6*3+6*3+6*3）个椭圆曲线点。这 62 个 ECP 将被提供给 Alice，即证明者。在一个一般的情况下，对于一个有  个输入和  个一级约束的问题，PK 将包含  个 ECP。

同时，进行以下计算：

整个过程被称作“验证钥”，简称VK。这里只涉及7个椭圆曲线点（ECPs），需要提供给验证方。要注意的是，不管问题里面涉及多少输入和一级约束，VK始终是由7个ECPs构成的。

另外，值得一提的是，“可信设置”以及生成PK和VK的过程，对于一个特定的问题来说，只需操作一次即可。

证明与验证

现在拥有公钥（PK），爱丽丝将计算以下椭圆曲线点（ECPs）：

这9个椭圆曲线点就是零知识简洁非交互式证明（zk-SNARK）的关键！

注意，爱丽丝其实只是对公钥里的椭圆曲线点做了些线性组合运算。这点特别关键，验证时会重点检查。

现在，爱丽丝交出了zk-SNARK证明，咱们终于进入验证环节，分三步走。

首先得确认，前8个椭圆曲线点真的是通用参考串里那些点的线性组合。

其次，检查  确实来自同一个见证向量 ：

最后，检查等式（5）的相等性：

如果这三项检查都成立，那么等式（5）得到验证，因此我们相信爱丽丝知道见证。让我们解释一下等式背后的理由。以第一部分中的第一个等式为例，等式成立是因为双线性性质：然而，由于爱丽丝不知道  的值，她无法明确计算这个加法。她唯一能想出来满足等式的一对  的方法，是分别用相同的一组系数 ，计算  和  的两个组合。